群论基础速成（5）：生成元，凯莱图，轨道，循环图，以及群的“维度”？

目录

0. 前言

1. 生成元

2. 凯莱图的绘制

3. 群有维度的概念吗？

4. 轨道和循环图

4.1 轨道

4.2 循环图

        业余爱好小白的群论自学笔记。没有目的，为了学习而学习。用自己能够理解的方式沿着自己的思路进行整理记述（东施效颦小平邦彦的抄书学数学），不求严谨完备，但求逻辑连贯。

        本篇来回头讨论一下群的生成元和凯莱图的绘制，进一步在凯莱图的基础上进一步讨论轨道和循环图。

        群的生成元与线性空间的基有一些类似的地方，基于此，很自然地会提出一个问题：线性空间有维度的概念，那么群有类似于维度的概念吗？

        群的生成元是指群的一个基本的元素集合，基于这个元素集合的组合运算可以生成所有其它的元素。

        例1. 比如说循环群，元素集合{1}就是它的一个生成元集合。基于元素1，就可以生成所有其它元素，比如说，2=(1+1)%6, 3=(1+1+1)%6,0=(1+1+1+1+1+1)%6,等等。

        例2. 《群论彩图版》2.2中所举的描述长方形卡片翻转的对称性的群中，水平翻转和竖直翻转这两个操作（作用）就构成了这个群的两个生成元。

                                图1. 《群论彩图版》2.2所举的长方形卡片翻转游戏

        例3. 在描述魔方的对称性的群中，一共有6个基本作用，分别代表每个面顺时针旋转90度。基于这个6个基本作用的组合（即群元素之间的二元运算）可以生成所有针对魔方的可能的操作。

        基于生成元，凯莱图的绘制步骤如下所示：

        例4. 以循环群. 首先画出表示0元素的起点节点；然后从0经过与1的作用得到1（因为只有一个生成元，所以从0出发只有一个箭头。以下同）；然后从1经过与1的作用得到2；。。。；最后，从5经过与1的作用得到0。至此所有群元素都已经出现，我们得到了的凯莱图，如下所示：

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                                                              图2 的凯莱图

         例5. 同样可以得到描绘图1所示游戏的对称性的群的凯莱图        

        首先，以纸牌的状态作为节点绘制凯莱图

图3 描述长方形卡片翻转游戏的对称性的群的凯莱图（以卡片状态为节点）

         进一步，从作用的观点对上图进行抽象化。以B表示水平翻转（flip horizontally）,以R表示垂直翻转（flip vertically）。以左上角的节点作为单位元，其余节点就分别表示从单位元出发经过图示的作用路径得到的组合作用结果。由此可得下图（图中N表示单位元）：

 图4 描述长方形卡片翻转游戏的对称性的群的凯莱图（以作用运算结果为节点）

        有凯莱图可知，BR=RB。当然我们已经直到这个群与Klein四元群（V4或K4）是同构的。

         注：无论如何努力描述效果都无法达到《群论彩图版》中的描述的精彩程度的百分之一^-^。有兴趣的小伙伴推荐读一读《群论彩图版》原文，虽然需要一些时间和耐心。

        在线性代数中，向量空间的一个基本属性就是它的维度，维度等于张成该向量空间的基中的基向量的个数。如上所述，仅仅通过生成元之间的结合运算就可以生成群的所有元素。所以，群的生成元与向量空间的基向量有一定相似的地方。那一个自然而然的问题就是，群有没有类似于向量空间的维度的概念呢？

        答案是没有。

        为什么呢？因为群的生成元的集合的大小不是一个不变量。而向量空间的基的大小是一个不变量，即一个向量空间可以由不同的基张成，但是不同的张成该向量空间的基的大小必定相等。而群不满足这个条件。以，如前所述，{1}是它的一个生成元集合。但是，{2,3}也是一个可以生成它的生成元集，如下图所示：

    图5 生成的几种不同方式（《群论彩图版》图6.5）

        既可以由一个生成元生成，也可以由两个生成元生成。群的不同生成元集合的大小不一定相同，因此群没有类似于向量空间的维度的概念！

        本节我们讨论一下除了凯莱图，凯莱表（乘法表）之外的第3种可视化技术：循环图。

        在(群论基础速成（2）：子群，陪集，正规子群，商群)中我们已经提到过（【定理3】），对一个有限群中的任意一个元素重复做自我结合运算（即幂运算，a, a*a, a*a*a,...）所得到的结果构成的子集即构成该群的一个循环子群。并且该循环子群的阶即为该元素（即该循环子群的生成元）的阶。从凯莱图来看，这个循环子群的构成等价于：从凯莱图的单位元节点出发，重复元素a的作用（与该元素a的群运算），经过有限步后会回到单位元节点。以上操作所得到的路径称为元素a的轨道。很显然，由前述【定理3】，群中的任意一个元素都能牵引出一条轨道。而该轨道上的所有元素构成的子集为群的一个子群。

        对于循环群而言，很显然，它本身就是一条轨道。元素1牵引出的轨道为{0,1,2,3,4,5}; 元素2牵引出的轨道为{0,2,4}; 元素3牵引出的轨道为{0,3};。。。当然单位元的作用无法使我们离开起点，所以可以说单位元没有轨道，也可以说单位元的轨道是trival, whatever is OK.

图6 S3的凯莱图

        以图6所示的S3的凯莱图为例，从单位元e出发，可以看出(r^2表示r*r或者，主要是敲公式还是费劲了点，有时候就偷个懒)，

       基于从群的每个元素牵引出的轨道，我们可以构造出一个把出现在同一个轨道上的元素连接在一起的图，这样的图可以说明群是怎样由元素的轨道构成的。由于每个轨道是一个循环而成的圈，所以我们把这样构造出来的图叫做循环图。基于以上S3的轨道信息，可以构造出S3的循环图如下所示：

 图7 S3的循环图

        循环图为我们提供了另外一种考察群的特征的可视化方式。

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